隐函数怎么求导

求隐函数的导数可以使用隐函数的全微分的方法。

设有一个隐函数关系式为

\[F(x, y) = 0\]

其中，\(y\) 是 \(x\) 的隐函数。

我们可以把 \(F(x, y) = 0\) 在某个点附近进行展开，得到：

\[F(x + \Delta x, y + \Delta y) = 0\]

其中，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 都是 \(x\) 和 \(y\) 的增量。

将上式利用泰勒公式展开，得到：

\[F(x, y) + \frac{{\partial F}}{{\partial x}}\Delta x + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}\Delta y + \cdots = 0\]

由于我们要求的是 \(\frac{{dy}}{{dx}}\)，所以我们将上式关于 \(x\) 求导，得到：

\[\frac{{\partial F}}{{\partial x}} + \frac{{\partial F}}{{\partial y}}\frac{{dy}}{{dx}} = 0\]

整理得到：

\[\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}}{{\frac{{\partial F}}{{\partial y}}}}\]

这个就是隐函数的导数的表达式。

举例来说，如果我们有一个隐函数 \(x^2 + y^2 - 1 = 0\)，我们想求出 \(\frac{{dy}}{{dx}}\)，其中 \(y\) 是 \(x\) 的隐函数，我们可以将这个隐函数关系式表示为 \[F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0\]，然后对这个关系式进行求导，得到 \[\frac{{\partial F}}{{\partial x}} = 2x, \quad \frac{{\partial F}}{{\partial y}} = 2y\]，将这些结果代入隐函数的导数的表达式，得到 \[\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{\frac{{\partial F}}{{\partial x}}}}{{\frac{{\partial F}}{{\partial y}}} = -\frac{{2x}}{{2y} = -\frac{{x}}{{y}}\]，所以 \(\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{x}}{{y}}\)。

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